Theo thầy Trần Phương, đây là một bài toán tổ hợp thông dụng, thường xuất hiện nhiều lần trong các kì thi toán quốc tế như: IMO. IMC, Kangaroo IKMC.
Bài toán con ếch nhảy có đề bài như sau: Một con ếch ngồi trên một ô vuông màu đỏ trong bảng vuông 7×7. Mỗi bước nhảy con ếch có thể nhảy sang một ô liền kề theo hàng hoặc cột chứ không được nhảy chéo. Hỏi con ếch có thể nhảy qua tất cả 48 ô còn lại với mỗi ô đúng một lần được không?
Thầy Trần Phương, giáo viên Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI đặt vấn đề và hướng dẫn giải như sau: Trên hình dưới đây có 1 bảng ô vuông 7 x 7, con ếch nằm ở vị trí sát ô dưới cùng bên trái được tô màu đỏ.
Con ếch nằm ở vị trí ô đỏ trong bảng vuông 7×7.
Để làm bài toán này, chúng ta thực hiện tô màu các ô đỏ và xanh xen kẽ thì sẽ phát hiện ra quy luật.
Thực hiện tô màu xen kẽ để tìm ra quy luật.
Nhìn bảng ô vuông đã tô màu trên hình vẽ, ta thấy có 24 ô màu đỏ và 25 ô màu xanh. Con ếch đang nằm ở ô màu đỏ. Vậy trừ ô màu đỏ này đi, người giải sẽ còn 48 ô. Trong 48 ô này có 25 ô màu xanh và 23 ô màu đỏ.
Giả sử có rất nhiều khả năng để con ếch có thể nhảy, nhưng chúng ta phải nhận biết được sự ổn định, tính chất quy luật, hay còn gọi là sự bất biến. Sự bất biến ở đây tức là sau mỗi thao tác nhảy, con ếch đang ở vị trí ô đỏ sẽ nhảy sang vị trí ô xanh và ngược lại.
Con ếch có thể nhảy theo hướng tiến thẳng, rẽ phải, lùi về sau (các hướng vuông góc với nhau). Nhưng điều bất biến là sự đổi màu của các ô mang tính chất luân phiên nhau.
Thầy Trần Phương lập luận bài toán như sau: Nhờ kĩ thuật tô màu để nhận biết quy luật, người giải bài sẽ nhận xét được rằng nếu như con ếch nhảy được qua hết 48 ô còn lại, mỗi thao tác sẽ nhảy từ ô xanh sang ô đỏ và từ ô đỏ nhảy sang ô xanh, khi kết thúc chu trình 48 ô là một số chẵn thì con ếch sẽ phải nhảy qua 24 ô đỏ và 24 ô xanh. Tuy nhiên hình vẽ chỉ có 23 ô đỏ, vậy con ếch không thể thực hiện nhảy qua 48 ô còn lại.
Kết luận: Nếu như con ếch kết thúc chu trình nhảy qua 48 ô, mỗi ô nhảy qua đúng 1 lần theo quy tắc nhảy thẳng hoặc nhảy vuông góc hoặc nhảy lùi thì số ô màu đỏ và số ô màu xanh phải bằng nhau. Trong trường hợp này có 23 ô màu đỏ và 25 ô màu xanh, do đó con ếch không thể nhảy qua toàn bộ 48 ô còn lại.
Qua bài toán này, thầy Trần Phương rút ra được nếu con ếch không nằm ở ô đỏ mà nằm ở ô màu xanh, 48 ô còn lại sẽ có 24 ô màu đỏ và 24 ô màu xanh. Vậy nếu con ếch bắt đầu nhảy từ ô xanh thì nó có thể nhảy được hết qua 48 ô còn lại.
Trong trường hợp con ếch ở vị trí ô xanh, thầy Trần Phương đặt ra một câu hỏi: Với vị trí của con ếch như hình vẽ, có bao nhiêu khả năng để con ếch thực hiện chu trình nhảy hết 48 ô còn lại (đi hết bàn cờ 7 x 7)?
>> Tham khảo thêm thông tin về thầy Trần Phương tại đây.
>> Phụ huynh và học sinh xem đầy đủ lời giải Bài toán con ếch nhảy của thầy Trần Phương trong chuyên mục Toán học không biên giới tại đây.
Phụ huynh và học sinh cùng đón chờ những câu đố tiếp theo của thầy Phương nhé!
