Phương trình nghiệm nguyên là một dạng bài tập khá khó và được sử dụng trong các phần nâng cao, các đề thi chuyên. Bài giảng dưới đây thầy Phạm Ngọc Hưng sẽ hướng dẫn học sinh giải các bài toán phương trình nghiệm nguyên có trong các đề thi vào lớp 10 chuyên qua các năm.
1. Phương pháp giải bài toán tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc 2 có 2 ẩn x,y.
– Phương trình tổng quát: ax²+ by²+cxy + d(x+y) + e = 0.
– Để giải phương trình trên học sinh có thể lựa chọn giải theo ẩn x hoặc ẩn y hoặc cả 2 ẩn x và y.
- Cách giải phương trình bậc 2 là tính Δ.
- Điều kiện của Δ là Δ≥0, Δ là số chính phương, Δ= m².
- Từ điều kiện 0 có thể suy ra và giới hạn giá trị của 1 ẩn số thì sẽ phụ thuộc vào ẩn còn lại, từ đó thu hẹp được bài toán về 1 ẩn và giải như phương trình bậc 1.
2. Bài tập thực hành
Bài 1: (chuyên Đắc Lắc 2010)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x²+ 2xy +7(x+y) +2y² + 10 = 0 (*).
Giải:
Phương trình (*) ⇔ (x+y)² + 7(x+y) + y²+ 10 = 0.
Đặt t = x+y (t∈Z).
Phương trình (*) ⇔ t²+ 7t + y²+10 = 0 (**).
Để phương trình (*) có nghiệm nguyên thì phương trình (**) cũng có nghiệm nguyên ẩn t, khi đó Δ≥0 và Δ là số chính phương.
Δ = 72– 4(y²+ 10) = 9 – 4y²
Δ≥0 ⇔ 9 – 4y²≥0 ⇔ y≥29/4 => y² = 0,1.
Nếu y²=1 => Δ= 9 – 4.1 = 5 (không phải là số chính phương) => loại.
Vậy y²= 0 ⇔ y=0.
Thay vào phương trình (*):
x²+ 7x + 10 = 0
⇔ x = -2 hoặc x = -5
Kết luận: Nghiệm của phương trình là (x;y {(-2;0),(-5;0)}.
Thầy Hưng hướng dẫn giải bài tập
Bài 2: (Phan Bội Châu 2011)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x²+ 2xy +y² – 4x – 40 = 0 (*).
Giải:
Phương trình (*) ⇔ x²+ 2xy +y² + 4x²– 4x +1 – 41 = 0 .
⇔(x+y)²+(2x-1)²= 41.
Phân tích số 41 thành tổng của 2 số chính phương: 41 = 25 + 16 = 16 + 25
Rõ ràng (2x-1)² sẽ là số lẻ nên (x+y)²= 16 và (2x-1)²= 25
⇔ (x+y) = 4 và (2x-1) += 5.
- TH1: (x+y) = 4 và (2x-1) += 5 => x=3, y=1.
- TH2: (x+y) = 4 và (2x-1) += -5 => x=-2, y=6.
- TH3: (x+y) = -4 và (2x-1) += 5 => x=3, y=-7.
- TH4: (x+y) = -4 và (2x-1) += -5 => x=-2, y=-2.
Bài 3: Tìm x.y nguyên dương thỏa mãn 3x²+ 10xy + 8y²– 84 = 0 (*)
Giải:
Phương trình (*) ⇔ 3x²+ 6xy + 4xy + 8y²= 84.
⇔ 3x(x+2y) + 4y(x+2y) = 84.
⇔ (x+2y).(3x+4y) = 84 (**).
Ta có 84 = 22. 3. 7
Do x,y ∈ Z => x≥1, y≥1.
=> 3x + 4y ≥ 7, x + 2y ≥ 3, 3x + 4y > x + 2y.
Phân tích 84 thành tích của 2 thừa số, mỗi thừa số đều 3 ta được:
84 = 28.3 = 21.4 = 14. 6 = 12.7.
Nhận thấy (x+2y).(3x+4y) = 84 là chẵn.
(x+2y) + (3x+4y) = 4x+5y là chẵn.
=> (x+2y) và (3x+4y) là số chẵn.
Từ đó ta có: x+2y = 6 và 3x+4y =14.
⇔ x=2 và y=2.
Thầy Hưng hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
(x²– 1).xy = 5x²– 2 (*)
Giải:
Phương trình (*) ⇔ (x²– 1).xy = 5(x²-1)+ 3
⇔ (x²– 1).(xy-5) = 3
Lưu ý: x²– 1 -1 x nên (x²– 1).(xy-5) = 3 = (-1).(-3) = 1.3 = 3.1
- TH1: x²– 1 = -1 và xy – 5 = -3
⇔ x = 0 và 0y – 5 = -3 (vô lý)
=> TH1 loại.
- TH2: x²– 1 = 1 và xy – 5 = 3
⇔ x²= 2 và xy = 8 (loại)
- TH3: x²– 1 = 3 và xy – 5 = 1
⇔ x²= 4 và xy = 6
⇔ x = 2 và xy = 6
⇔ x=2, y=3 hoặc x=-2, y=-3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm (2;3) và (-2;-3)
3. Lưu ý
Các bài toán về nghiệm nguyên là các bài toán liên quan đến số học, học sinh cần vận dụng kiến thức về các con số, tính chất chẵn lẻ, tính chất chia hết, số tận cùng, số chính phương, số nguyên tố,….để giải bài toán nghiệm nguyên. Do vậy khi giải bài toán số nguyên cũng là một lần để học sinh ôn luyện lại toàn bộ kiến thức Toán từ 6-9.
Trên đây là những kiến thức cũng như phương pháp giải một bài toán nghiệm nguyên do thầy Phạm Ngọc Hưng hướng dẫn. Để đảm bảo việc học tại nhà hiệu quả, lượng kiến thức không bị gián đoạn, đứt gãy, phụ huynh và các bạn học sinh hãy theo dõi chương trình “Học online cùng HOCMAI” được phát sóng trực tiếp trên Fanpage HOCMAI.VN THCS và kênh Youtube HOCMAI THCS.
Bên cạnh việc ôn tập kiến thức cho kỳ II, cha mẹ cũng cần giúp con chuẩn bị kiến thức cho năm học mới. Do chương trình học năm nay kết thúc muộn, thời gian nghỉ hè bị rút ngắn nên con không thể có thời gian chuẩn bị tốt cho năm học mới được. Để con có lộ trình học phù hợp cho năm học tiếp theo, phụ huynh có thể tham khảo Chương trình học tốt 2020-2021 của HOCMAI.
Chương trình gồm hệ thống bài giảng chi tiết, chất lượng, bám sát chương trình học của Bộ GD&ĐT. Bên cạnh đó là kho bài tập phong phú, đa dạng, có các dịch vụ hỗ trợ tiện ích không chỉ giúp học sinh học hành thuận tiện mà còn giúp phụ huynh dễ dàng kiểm tra, đánh giá được tình hình học tập của con.
>>> Đăng ký học thử miễn phí TẠI ĐÂY.
Thông tin chi tiết liên hệ ngay hotline 0936 5858 12 để được tư vấn miễn phí.
