Bài Toán không biên giới là chuỗi những bài Toán hay, đặc sắc của thầy Trần Phương – giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI. Bài viết dưới đây, thầy sẽ hướng dẫn cách giải bài toán xếp hơn 40 lon bia vào thùng.
Theo thầy Trần Phương, bài toán “Làm thế nào có thể xếp nhiều hơn 40 lon bia có đường kính là 1, chiều cao là K vào một khối hộp chữ nhật 5 x 8 x K?” thuộc dạng toán tối ưu thường gặp trong đời sống. Bài toán đòi hỏi người làm cần có cách giải sáng tạo.
Thầy Trần Phương hướng dẫn cách giải bài toán xếp hơn 40 lon bia vào thùng.
Thông thường, một thùng bia sẽ có kích thước 6×4 (6 cột, mỗi cột 4 lon bia) như vậy công dụng của nó là sẽ chứa tổng cộng 24 lon bia hình trụ có đường kính là 1 đơn vị.
Bài toán được đặt ra theo cách sáng tạo hơn như sau: Từ hình vẽ một thùng bia với kích thước 8×5, được sắp xếp thành 8 cột, mỗi cột 5 lon bia, tổng cộng có 40 lon bia. Vậy có thể xếp nhiều hơn 40 lon bia có đường kính là 1 vào trong một thùng bia có chiều dài là 8 đơn vị, chiều rộng là 5 đơn vị và độ cao bằng K (độ cao của lon bia) không?
Ta có thể thấy rằng các kẽ hở giữa các lon bia không đủ độ rộng để chứa đựng được 1 lon bia (tức là độ rộng của kẽ hở không thể nhỏ hơn đường kính của lon bia). Để trả lời cho câu hỏi này, chúng ta hãy tìm hiểu qua các cách sắp xếp sáng tạo sau đây:
Sắp xếp so le và đều nhau: là cách sắp xếp xen kẽ 1 cột 5, một cột 4 luân phiên nhau, trong thực nghiệm chúng ta sẽ xếp thành 9 cột. Như vậy ta có: 5 cột là 5 lon bia (5×5=25), 4 cột 4 lon bia (4×4=16), tổng cộng có 41 lon bia. Như vậy sẽ nhiều hơn cách sắp xếp đều nhau (8 cột, mỗi cột 5 lon bia) là 1 lon bia. Để có được điều kì diệu này, chúng ta hãy quan sát cách sắp xếp trước (sắp xếp đều nhau) có điểm lợi và hại như thế nào.
Với cách sắp xếp đều nhau là 8 cột, mỗi cột 5 lon bia (8×5=40), chúng ta chú ý ở chu kì 3 của cách sắp xếp này là 3×5=15 lon bia, còn ở chu kì 3 của cách sắp xếp so le là 14 lon bia. Như vậy, tại chu kì 3, cách sắp xếp đều nhau nhiều hơn 1 lon bia so với cách sắp xếp so le. Đây được gọi là lợi ích cục bộ, nhưng thiệt hại chiến lược là khoảng cách của 2 điểm xa nhau nhất bằng tổng độ dài của 3 đường kính (1+1+1=3)
Với cách sắp xếp so le 5, 4, 5, 4… thì ở chu kì 3 ta có 5+4+5 = 14 lon bia, tức là ít hơn ở cách sắp xếp đều nhau ở chu kì 3 là 1 lon bia, nhưng điểm lợi ích chiến lược là khoảng cách 2 điểm xa lớn nhất trong 1 chu kì 3 chắc chắn nhỏ hơn 3. Bởi cách sắp xếp này không phải là tổng độ dài của 3 đường kính là bằng 3 như cách sắp xếp trước.
Như vậy, với cách sắp xếp so le như trên, ta thiệt hại mất 1 lon bia ở chu kì 3, nhưng lợi ích chiến lược là ta thu hẹp được khoảng cách,độ rộng của chu kì 3 là nhỏ hơn 3. Từ đó có thể tiết kiệm được dần khoảng cách để có thể xếp thêm 1 cột thứ 9 (gồm 5 cột 5 lon bia và 4 cột 4 lon bia) xen kẽ luân phiên nhau. Đáp án có được là 41 lon bia. Đặc biệt, điều kì diệu là toàn bộ chiều dài của 9 cột chứa lon bia này thì thùng bia đấy sẽ có kích thước chưa đến 8.
Hình ảnh 41 lon bia được sắp xếp trong thùng bia kích thước 5×8.
Để tìm hiểu thêm, ta có thể mở rộng bài toán theo nhiều chiều. Đối chiếu 2 cách sắp xếp như sau: Cách thứ nhất, chúng ta có thể lùi xuống với cách sắp xếp 4×8. Với cách sắp xếp 8 cột đều nhau, mỗi cột 4 lon bia thì ta có tổng cộng 32 lon bia. Ở cách sắp xếp thứ 2, cách sắp xếp so le xen kẽ 4, 3,4,… lon bia luân phiên thành 9 cột. Như vậy, ở cách sắp xếp xen kẽ này ta có 5 cột 4 lon bia và 4 cột 3 lon bia, tổng cộng 32 lon bia. Như vậy, với cách sắp xếp này chúng ta có số lượng lon bia bằng nhau.
Tiếp tục lùi xuống, trong một thùng bia kích thước là 3×8 (8 cột mỗi cột 3 lon bia) sắp xếp đều nhau, tổng cộng có 24 lon bia. Tuy nhiên khi xếp thành 9 cột, với 5 cột 3 lon bia và 4 cột 2 lon bia thì chúng ta có tổng cộng 23 lon bia. Như vậy, không phải vs cách sắp xếp 9 cột lúc nào cũng tối ưu hơn cách sắp xếp đều nhau. Ở trường hợp này, cách sắp xếp 9 cột lại nhỏ hơn 1 lon bia.
Tiếp tục mở rộng theo chiều tiến lên với kích thước 6×8 (8 cột 6 lon bia) sắp xếp đều nhau, tổng cộng có 48 lon bia. Và ở cách sắp xếp so le, chúng ta có 5 cột mỗi cột 6 lon bia, 4 cột mỗi cột 5 lon bia, tổng số lượng là 50 lon bia. Với cách sắp xếp đột phá so le này, ta có nhiều hơn 2 lon bia. Tương tự như vậy, khi mở rộng bài toán theo chiều tiến lên, tức là tăng kích thước lên, chúng ta sẽ xếp được nhiều hơn lon bia. Tuy nhiên việc tăng kích thước khi sắp xếp lon bia sẽ không phù hợp với diện tích thông dụng khi vận chuyển và giao nhận trong bán hàng. Do đó, người ta vẫn thường hay sắp xếp theo khổ thông dụng nhất là 6×4.
Qua bài toán này, ta thấy với nhiều cách sắp xếp đột phá sáng tạo, vượt qua các cách sắp xếp thường nhật, chúng ta sẽ nhận được kết quả bất ngờ là tăng được số lượng lon bia.
Đồng thời, phụ huynh và học sinh tham khảo bài giảng chi tiết của thầy Phương tại ĐÂY.
Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết thông tin của thầy Trần Phương tại ĐÂY.
Phụ huynh và học sinh cùng đón chờ những câu đố tiếp theo của thầy Phương nhé!
