Độ dài đường tròn, cung tròn

Độ dài đường tròn, cung tròn là chuyên đề trong chương trình hình học toán 9 tiếp theo HOCMAI muốn giới thiệu đến các em học sinh. Bài viết sẽ cung cấp cho các em kiến thức về chuyên đề này qua các lý thuyết, công thức và các bài tập vận dụng có kèm lời giải chi tiết. 

 

Bài viết tham khảo thêm:

• Hướng dẫn con học nhanh lý thuyết hình tròn và các bài tập liên quan

• Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

 

I. Lý thuyết cần nắm về Độ dài đường tròn, cung trò

1. Độ dài đường tròn

Độ dài đường tròn hay còn gọi là chu vi hình tròn được ký hiệu là C (Chữ cái đầu của Circle – Nghĩa là đường tròn trong tiếng anh). Công thức tính chu vi hình tròn đã được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 5.

Độ dài của đường tròn bán kính R được tính theo công thức:

C= 2πR

Nếu gọi d là đường kính của đường tròn, tức là d = 2R, thì độ dài đường tròn được tính theo công thức:

C = πd

Trong đó: π đọc là Pi và có ký hiệu của một số vô tỷ mà giá trị gần đúng được lấy là π ≈ 3,14.

Ví dụ: Tính độ dài đường tròn (O; 5 cm).

Lời giải:

Độ dài của đường tròn (O ; 5cm) có bán kính R = 5 cm là:

C= 2πR = 2.π.5 = 10π ≈ 31,4 cm.

2. Độ dài cung tròn

Đường tròn thực chất là một cung tròn khép kín có số đo bằng 360° có độ dài bằng C= 2πR.

Do đó, mỗi 1° có độ dài bằng (2πR.1)/360.

Suy ra cung tròn n° có độ dài bằng: (2πR.n)/360 = (πRn)/180.

Như vậy, độ dài cung tròn n° được tính theo công thức sau:

l = (πRn)/180

Trong đó:

• l là độ dài cung tròn;
• π là hằng số, π ≈ 3,14
• n° là số đo của cung cần tính độ dài.

Ví dụ: Tính độ dài cung tròn sau:

Lời giải:

Cung tròn AB bán kính R = 12, độ lớn cung bằng n° = 60° có độ dài là:

l = (πRn)/180 = l = (π.12.60)/180 = 4π ≈ 12,56

 

II. Các dạng bài tập và cách giải giải chi tiết (Trắc nghiệm + Tự luận)

Chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn có 2 dạng bài tập chính là:

• Dạng 1 – Tính độ dài đường tròn, cung tròn
• Dạng 2 – Một sô bài toán tổng hợp

Chúng ta cần phải nắm rõ được lý thuyết, các công thức đã nêu ở phần I để áp dụng vào giải các bài toán các dạng bài tập này.

Sau đây là một số Bài tập trắc nghiệm + Bài tập tự luận có lời giải chi tiết để các em học sinh tham khảo:

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số đo n° của cung tròn có độ dài 30,8cm trên đường tròn có bán kính 22cm là (lấy π ≈ 3,14 và làm tròn đến độ). 

A. 70°
B. 80°
C. 65°
D. 85°

Lời giải:

Độ dài của cung tròn là:  l = (πRn)/180 <=> (π.22.n)/180 = 30,8 => n ≈ 80°

Vậy B là đáp án đúng

Câu 2: Chu vi đường tròn R = 9 bán kính là: 

A. 18π
B. 9π
C. 12π
D. 27π

Lời giải:

Chu vi: C = 2πR = 2.π.9 = 18π 

Vậy A là đáp án đúng

Câu 3: Biết C = 36π (cm) là chu vi đường tròn. Tìm đường kính của đường tròn đó. 

A. 18π cm
B. 14π cm
C. 36π cm
D. 20π cm

Lời giải:

Chu vi: C = πd ⇔ πd = 36π => d = 36 cm 

Vậy B là đáp án đúng

Câu 4: Chu vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a (cm) là:

A. (4πa√3)/3 cm
B. (2πa√3)/3 cm
C. (πa√3)/3 cm
D. (5πa√3)/3 cm

Lời giải:

Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BAC => Điểm O cũng là trọng tâm của tam giác ABC. 

Tia CO ⊥ AB tại D thì D chính là trung điểm của AB => OC = 2/3CD

Xét tam giác vuông ADC có:

• AC = a
• Góc CAD = 60°

=> CD = AC.Sin 60° = (a√3)/2

=> OC = 2/3.(a√3)/2 = (a√3)/3 = R

=> Chu vi đường tròn là: C = 2πR = 2π.(a√3)/3 = (2πa√3)/3 (cm)

Vậy B là đáp án đúng

Câu 5: Cho đường tròn (O) với bán kính là OA. Từ trung điểm của OA là M, vẽ dây BC ⊥ OA. Biết rằng đường tròn (O) có độ dài là 4π cm. Tính độ dài cung lớn BC?: 

A. 4π/3
B. 5π/3
C. 7π/3
D. 8π/3

Lời giải:

Vì độ dài đường tròn là 4π nên 4π = 2πR => R = 2 cm (R là bán kính đường tròn) 

Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là trung điểm mỗi đường => Tứ giác ABOC là hình thoi. 

=> OB = OC = AB => ΔABO đều => Góc AOB = 60° => Góc BOC = 120°    

=> Số đo cung lớn BC = 360° – 120° = 240° 

Độ dài cung lớn BC là: l = (πRn)/180 = (π.2.240)/180 = 8π/3

Vậy D là đáp án đúng

Bài tập tự luận

Bài 1: Cho một đường tròn tâm O với bán kính R. Hai tiếp tuyến tại điểm A và điểm B cắt nhau tại điểm M và tạo với nhau một góc bằng 60°. 

a) Theo R, hãy tính độ dài cung lớn AB.
b) Tính diện tích của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung nhỏ AB.

Lời giải:

a) Tứ giác OAMB có góc AMB = 60° và góc A = góc B = 90° 

=> Góc AOB = 360° – 60° – 90° – 90° = 120°

=> Số đo cung nhỏ AB = 120°

=> Số đo cung lớn AB = 360° – 120° = 240°

=> Độ dài cung lớn AB là: l = (πRn)/180 = (πR.240)/180 = (4πR)/3

b) Ta có góc MOA = góc MOB = 1/2 góc AOB = 60° 

=> MA = OA.tan góc MOA = R√3

 => Diện tích tứ giác MAOB là:

S MAOB = 2S MAO = 2.1/2.MA.AO = R²√3

=> Diện tích hình quạt OAB là:

Sq = (πR².120)/360 = (πR²)/3

Vậy diện tích của hình giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung nhỏ AB là:

S = S MAOB – Sq = R²√3 – (πR²)/3 = R²(√3 – π/3)

Bài 2: Lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường tròn (O) sao cho số đo cung AB = 60°, số đo cung BC = 90°, số đo cung CD = 120°. 

a) Tứ giác ABCD là hình gì? 

b) Tính độ dài đường tròn (O). Biết diện tích tứ giác ABCD bằng 100 m².  

Lời giải:

a) ABCD là hình thang cân. 

b) Gọi  bán kính của đường tròn (O) là R, đường cao đi qua O của hình thang là EF.

Ta có: 

• EF = (2.100) / (AB + CD) = 200/(R√3 + 1) (1)
• EF = OE + OF = R/2.(R√3 + 1) (2)

Từ (1) và (2) => R = 20/(R√3 + 1) = 10(R√3 – 1)

=> Độ dài của đường tròn (O) là: C= 2πR = 2π.10(R√3 – 1) = 20(R√3 – 1)π (m).

 

Trên đây là những thông tin mà HOCMAI cung cấp cho các em học sinh về chuyên đề Độ dài đường tròn, cung tròn. Hãy nghiên cứu thật kỹ bài viết này để nắm vững kiến thức và vận dụng vào làm bài tập một cách tốt nhất nhé!