Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Trong bài viết hôm nay, HOCMAI sẽ cùng các em học sinh tìm hiểu các kiến thức cần nắm vững như lý thuyết, công thức tính và cách giải các dạng bài tập về chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn. 

 

Bài viết tham khảo thêm:

• Hình trụ

• Hình nón

• Hình cầu

 

I. Lý thuyết cần nắm về Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

1. Diện tích hình tròn

Diện tích của một hình tròn với bán kính R được tính theo công thức:

S = πR²

Trong đó:

• π là hằng số, π ≈ 3,14
• R là bán kính của đường tròn.

Ví dụ: Tính diện tích hình tròn có đường kính là 13 cm.

Ta có: R = 13 cm

=> Diện tích hình tròn là: S = πR² = π13²= 169π ≈ 530,66 (cm²)

2. Hình quạt tròn và Diện tích hình quạt tròn

a) Định nghĩa hình quạt nón

Hình quạt nón là một phần của hình tròn được giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

Ở hình trên, OAB là một hình quạt tròn có tâm O, bán kính R và cung n°.

b) Diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính E, cung n° được tính theo công thức:

Trong đó: 

• l là độ dài cung;
• n° là số đo của cung;
• π là hằng số, π ≈ 3,14
• R là bán kính của đường tròn.

Ví dụ: Tính diện tích của hình quạt tròn sau:

Cung tròn OAB với bán kính R = 4, số đo cung n° = 80°

=> Diện tích là: S = (π.R².n°)/360 = (π.4².80)/360 = 32π/9 ≈ 12.

 

II. Các dạng bài tập về Diện tích hình tròn, hình quạt tròn và cách giải giải chi tiết (Trắc nghiệm + Tự luận)

Chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn có 2 dạng bài tập chính là:

• Dạng 1 – Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các loại lương có liên quan

Để làm được dạng bài tập này, bạn cần áp dụng các công thức nêu ở phần I và các kiến thức đã có. 

• Dạng 2 – Một số bài toán tổng hợp

Đây là dạng có mức độ khó cao hơn dạng 1. Bạn cần sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để tìm được số đo góc ở tâm, độ dài bán kính đường tròn. Từ kết quả đó, bạn sẽ  tính được diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.

Sau đây là một số Bài tập trắc nghiệm + Bài tập tự luận về chuyên đề Diện tích hình tròn, hình quạt tròn có lời giải chi tiết để các em học sinh tham khảo:

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Một hình tròn có diện tích S= 225π (cm²). Bán kính của hình tròn đó là:

A. 15 (cm)
B. 16 (cm)
C. 12 (cm)
D. 14 (cm)

Lời giải:

Diện tích S = πR² = 225π => R² = 225 = > R = 15 (cm)

Vậy A là đáp án đúng

Câu 2: Diện tích hình tròn bán kính R = 10cm là:

A. 100π (cm²)
B. 10π (cm²)
C. 20π (cm²)
D. 100π² (cm²)

Lời giải:

Diện tích S = πR² = 10²π = 100π (cm²)

Vậy A là đáp án đúng

Câu 3: Cho đường tròn (O;10cm) với đường kính AB. Điểm M ∈ đường tròn (O) sao cho góc BAM =  45°. Tính diện tích hình quạt AOM.

A. 5π (cm²)
B. 25π (cm²)
C. 50π (cm²)
D. 25/2π (cm²)

Lời giải:

Xét đường tròn (O ; 10cm) có:

• OA = OM
• Góc MOA = 45°

=> ΔAMO là tam giác vuông cân => Góc MOA = 90°

Vậy ta tính được diện tích hình quạt AOM là: 

S = (π.R².n°)/360 = (π.10².90)/360 = 25π (cm²)

Vậy B là đáp án đúng

Câu 4: Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 3√3. Điểm C ∈ O sao cho góc ABC = 60°. Tính diện tích của hình viên phân BC. (Phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy gọi là hình viên phân). 

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có: Góc ACB = 90° (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> Góc CAB = 90° – góc CBA = 60° (Tam giác ABC vuông tại C) 

Góc CAB và góc BOC là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung

=> Góc BOC = 2 lần Góc CAB = 2.30° = 60°

=> Diện tích hình quạt AOC là: Sq =  (π.R².60)/360 =  π.R²/6

Xét tam giác AOC có:

• Góc BOC = 60°
• OA = OC = R

=>  Tam giác BOC đều có cạnh bằng R

Gọi đường cao của tam giác AOC là H, ta có: 

CH = CO. Sin 60° = √3R/2

=> Diện tích tam giác AOC là: S ΔaAOC = 1/2.CH.OA = √3R²/4

Diện tích hình viên phân BC là: Diện tích hình quạt AOC – Diện tích tam giác BOC

⇔ π.R²/6 – √3R²/4 = (18π-27√3)/16 (cm²)

Bài tập tự luận

Bài 1: (77 / 98 / SGK TOÁN 9 T2)

Tính diện tích của hình tròn nội tiếp hình vuông có độ dài cạnh là 4cm.

Lời giải:

Khi giải bài này ta phải sử dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn: S = πR²

Do hình vuông có cạnh bằng 4cm thì hình tròn nội tiếp hình vuông này cũng có đường kính là 4cm => R = d/2 = 2 cm

=> Diện tích hình tròn là: S = πR² = π2²= 4π ≈ 18,56 (cm²)

Bài 2:  (78 / 98 / SGK TOÁN 9 T2)

Chân của một đống cát đổ trên một nền phẳng nằm ngang có hình dạng là một hình tròn có chu vi 12m. Hỏi chân đống cát đó chiếm diện tích bao nhiêu mét vuông ?

Lời giải:

Theo công thức tính diện tích hình tròn S = πR² thì muốn tính diện tích mà đống cát đã chiếm ta gọi R là bán kính của đường tròn chân đống cát.

Ta có: 2πR = 12 => R = 6/π (m)

Vậy diện tích đống cát đã chiếm sẽ là: 

S = πR² = π.(6/π)² ≈ 11,5 (m²).

Bài 3: (80 / 98 / SGK TOÁN 9 T2) 

Một vườn cỏ có hình dạng hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = 40m và AD = 30m. Người ta muốn ở hai góc vườn A và B buộc hai con dê. Có hai cách buộc: 

1. Một dây thừng có độ dài 20m 
2. Một dây thừng có độ dài 30m và dây thừng kia có độ dài 10m. 

Hỏi cách buộc dây nào sẽ giúp diện tích cỏ mà cả hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn ?

Lời giải:

• Theo cách buộc thứ nhất:

Con dê có thể di động trên diện tích bằng 1/4 hình tròn có bán kính 20m và tìm hoạt động của hai con dê chiếm diện tích bằng nhau.

Diện tích cỏ hai con dê ăn được: 20²π.1/4.2 = 200π (m²)

• Theo cách buộc thứ hai:

Diện tích cỏ con dê buộc ở vị trí A ăn được là: 1/4.π.30² = 225π (m²)

Diện tích cỏ con dê buộc ở vị trí B ăn được là: 1/4.π.10² = 25π (m²)

Diện tích cỏ cả hai con dê ăn được: 225π + 25π = 250π (m²)

Do đó buộc theo cách thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê ăn được sẽ lớn hơn cách buộc thứ nhất

Bài 4: (83 / 99 / SGK TOÁN 9 T2)

a) Vẽ hình dưới đây (tạo bởi các cung tròn) với HI = 10cm; HO = BI = 2cm. Nêu cách vẽ ?
b) Tính diện tích hình HOABINH màu đậm
c) Chứng minh hình tròn đường với kính NA có diện tích bằng diện tích của hình HOABINH đó.

Lời giải:

a) Cách vẽ hình HOABINH

– Vẽ một nửa đường tròn với đường kính HI = 10cm.

– Vẽ cùng một phía đối với IH hai nửa đường tròn đường kính HO = IB = 2cm.   

– Vẽ nửa đường tròn đường kính HB = 6cm   nằm ở phía dưới đối với nửa đường tròn đường kính HI.

b) Tính diện tích hình HOABINH

Diện tích hình HOABINH gồm diện tích nửa hình tròn đường kính HI = 10cm và diện tích nửa hình tròn đường kính OB = 6cm. Trừ đi diện tích hai nửa hình tròn đường kính HO và đường kính BI. Do đó ta có: 

1/2.π.5² + 1/2.π.3² + 1/2.π.1².2 = 16π (cm²)

c) Tính diện tích hình tròn với đường kính NA:

S = π.4² = 16π (cm²)

Diện tích hình tròn, hình quạt tròn trong hình học là chuyên đề quan trọng trong chương trình hình học Toán 9. Đặc biệt ta còn bắt gặp các dạng toán về chuyên đề này trong các bài kiểm tra, bài thi tổng kết hay chuyển cấp. Vậy nên hãy tham khảo thật kỹ nội dung bài viết trên bạn nhé!