Ở chương trình học môn Toán lớp 7, học sinh đã được làm quen với các nội dung kiến thức nhân đơn thức với đơn thức, cộng trừ các đơn thức đồng dạng, cộng trừ các đa thức với nhau,… Lên tới lớp 8, các em sẽ tiếp tục được học mở rộng và chuyên sâu hơn với “Phép nhân đơn thức – đa thức”. Đây là nội dung quan trọng trong phần Đại số môn Toán 8, cần đặc biệt lưu ý. Học sinh cùng theo dõi, tham khảo bài viết dưới đây để nắm chắc các kiến thức trong bài giảng của thầy Nguyễn Hoàng Việt – Giáo viên môn Toán tại Hệ thống Giáo dục HOCMAI. Bên cạnh đó, phụ huynh cùng các con có thể đăng kí tham gia Lớp học online Toán – Văn miễn phí cùng HOCMAI (lớp 6-9) để có một năm học mới “bứt phá” nhé ạ.
I/ Kiến thức cần nắm vững
1. Quy tắc nhân đơn thức với đa thức
Mở đầu bài học, thầy Việt giảng giải cho các bạn học sinh về quy tắc nhân đơn thức với đa thức. Theo đó: “Muốn nhân 1 đơn thức với 1 đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau”.
Ví dụ: (-2x)(x³ – 3x² – x + 1)
Lúc này, áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức vừa nêu ở trên, ta lấy đơn thức (đơn thức là: -2x) nhân với từng hạng tử của đa thức (đa thức là: x³ – 3x² – x + 1) rồi cộng các tích với nhau.
Ta có:
(-2x)(x³ – 3x² – x + 1) = (-2x)x³ – (-2x)3x² – (-2x)x + (-2x) = -2x⁴ + 6x³ + 2x² -2x
2. Quy tắc nhân đa thức với đa thức
Học sinh lớp 8 cần ghi nhớ kĩ: “Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau”.
Ví dụ:
a. (x – y)(x + y)
b. (x + 2y)(x² – 3xy)
Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức, ta làm như sau:
a. (x – y)(x + y) = x² – xy + xy – y² = x² – y²
b. (x + 2y)(x² – 3xy) = x.x² + 2y.x² – x.3xy + 2y. 3xy
= x³ + 2x²y – 3x²y – 6xy²
= x³ – x²y – 6xy²
II/ Bài tập chiếm lĩnh kiến thức
Sau khi đã hiểu và ghi nhớ kĩ 2 quy tắc (quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức), học sinh cùng theo dõi và “thử sức” với một số bài tập chiếm lĩnh kiến thức mà thầy Việt đưa ra ở dưới đây để luyện tập thành thạo nội dung học này nhé.
Bài 1: Thực hiện phép tính
a. (2xy + 3y – 5x).3x²y
b. (x³ + 5x²).(x – 7)
c. (x + 1)(x + 2)(x + 3)
Giải
a. Ở câu này, thầy Việt nhận định đây là phép tính nhân một đa thức với một đơn thức. Cụ thể:
Đa thức là: (2xy + 3y – 5x)
Đơn thức là: 3x²y
Ta lấy đơn thức nhân lần lượt với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại. Ta có:
(2xy + 3y – 5x).3x²y = 2xy.3x²y + 3y.3x²y – 5x.3x²y = 6x³ y² + 9x²y² – 15x³y
b. Còn với câu b, đây là phép tính 2 đa thức nhân với nhau. Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức, ta có:
(x³ + 5x²).(x – 7) = x³.x – 7.x³ + 5x².x + 5x².(-7)
= x⁴ – 7x³ + 5x³ – 35x²
= x⁴ – 2x³ – 35x²
c. Ở câu c, ta sẽ thực hiện phép nhân (x + 1).(x + 2) trước, rồi sau đó nhân tiếp kết quả với x + 3.
Ta có:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= (x² + x + 2x + 2).(x + 3)
= (x² + 3x + 2).(x + 3)
= x³ + 3x² + 2x + 3x² + 9x + 6
= x³ + 6x² + 11x + 6
Bài 2: Tìm x
a. 3x + 2.(5 – x) = 0
3x + 10 – 2x = 0
x + 10 = 0
x = -10. Vậy x = -10
b. x(2x – 1)(x + 5) – (2x² + 1)(x + 4,5) = 3,5
(2x² – x)(x + 5) – (2x³ + 9x² + x + 4,5) = 3,5
2x³ – x² + 10x² – 5x – 2x³ – 9x² – x – 4,5 = 3,5
-6x = 3,5 + 4,5
-6x = 8
x = -8/6
= -4/3. Vậy x = -4/3
Bài 3: Cho các đa thức: f(x) = 3x² – x + 1 và g(x) = x – 1
a. Tính f(x).g(x)
b. Tìm f(x).g(x) + x².[1 – 3.g(x)] = 1/2
Giải
a. f(x).g(x) = (3x² – x + 1)(x – 1) = 3x³ – x² + x – 3x² + x – 1 = 3x³ – 4x² + 2x – 1
b. f(x).g(x) + x².[1 – 3.g(x)] = 1/2
(3x³ – 4x² + 2x – 1) + x².[1 – 3.(x – 1)] = 1/2
3x³ – 4x² + 2x – 1 + x².(1 – 3x + 3) = 1/2
3x³ – 4x² + 2x – 1 + x² – 3x³ + 3x² = 1/2
2x – 1 = 1/2
2x = 3/2
x = 3/4
Bài 4: Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng
B = (y² + 2)(y – 4) – (2y² + 1)(0,5y – 2) với y = ⅔
Giải
Sang đến bài tập 4, mức độ khó được nâng lên và biểu thức cũng rắc rối hơn, thầy Việt dặn dò các bạn học sinh phải tính toán kĩ lưỡng, cẩn thận để tránh sai sót.
Đầu tiên, ta rút gọn biểu thức:
B = (y² + 2)(y – 4) – (2y² + 1)(0,5y – 2)
= (y³ + 2y – 4y² – 8) – (y³ + 0,5y – 4y² – 2)
= y³ + 2y – 4y² – 8 – y³ – 0,5y + 4y² + 2
= 1,5y – 6
Thay y = 2/3, ta được: B = 1,5 x 2/3 – 6 = 1 – 6 = -5.
Bài 5: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
x(3x + 12) – (7x – 20) + x²(2x – 3) – x(2x² + 5)
Giải
Thầy Việt nhận định đây là dạng bài tập liên quan tới nhân đa thức với đa thức. Với dạng này, ta sẽ rút gọn biểu thức ở đề bài sao cho kết quả cuối cùng không còn xuất hiện biến “x” nữa, khi đó, ta đã chứng minh được biểu thức trên không phụ thuộc vào biến.
Ta có:
x(3x + 12) – (7x – 20) + x²(2x – 3) – x(2x² + 5)
= (3x² + 12x) – (7x – 20) + (2x³ – 3x²) – (2x³ + 5x)
= 3x² + 12x – 7x + 20 + 2x³ – 3x² – 2x³ + 5x
= 20.
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào biến.
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau
a. a(b – x) + x(a + b) = b(a + x)
b. (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) = a³ + b³ + c³ – 3abc
Giải
Thầy Việt chia sẻ: “Đối với những bài tập liên quan tới chứng mình đẳng thức, ta có 3 cách là: biến đổi từ vế trái sao cho kết quả bằng vế phải; biến đổi từ vế phải sao cho kết quả bằng vế trái; biến đổi tương đương, tức biến đổi cả 2 vế cùng một lúc”.
* Với câu a, ta có:
a(b – x) + x(a + b) = b(a + x)
⇔ ab – ax + ax + bx = ab + bx
⇔ ab + bx = ab + bx (luôn đúng)
* Với câu b, ta có:
(a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) = a³ + b³ + c³ – 3abc
⇔ a³ + a²b + a²c + ab² + b³ + b²c + ac² + bc² + c³ – a²b – ab² – b²c – bc² – a²c – ac² – 3abc = a³ + b³ + c³ – 3abc
⇔ a³ + b³ + c³ – 3abc = a³ + b³ + c³ – 3abc (điều phải chứng minh)
Bài 7: Cho a + b + c = 2p. Chứng minh: 2bc + b² + c² – a² = 4p(p-a)
Giải
Đây là bài tập có mức độ khó hơn so với các bài trên. Thầy Việt chia sẻ: “Nếu quan sát một chút, các em sẽ thấy vế trái của biểu thức cần chứng minh gần như không xử lý được gì nữa. Vậy nên, ta sẽ đặt sự quan tâm chủ yếu vào vế phải, thầy sẽ nghĩ đến việc chứng minh từ vế phải để làm sao ra được kết quả bằng vế trái”.
Xét vế phải (VP), ta có:
VP = 4p(p-a)
= 4.[(a + b + c)/2].[(a + b + c)/2 – a]
= 2.(a + b + c).[(b + c – a)/2]
= (a + b + c).(b + c – a)
= ab + b² + bc + ac + bc + c² – a² – ab – ac
= 2bc + b² + c² – a² (điều phải chứng minh).
Trên đây là những kiến thức cần nắm vững và một số bài toán luyện tập trong bài giảng “Phép nhân đơn thức – đa thức” của thầy Nguyễn Hoàng Việt. Năm học mới đã chính thức bắt đầu, học sinh các lớp khối THCS có thể tham gia Lớp học online Toán – Văn miễn phí cùng HOCMAI (lớp 6 – 9) để chủ động kiến thức, tự tin đạt điểm số cao. Đây là lớp học livestream hoàn toàn MIỄN PHÍ cho tất cả học sinh lớp 6-7-8-9 trên cả nước. Trong mỗi buổi học, học sinh sẽ được trực tiếp tương tác với giáo viên, hệ thống các kiến thức trọng tâm và hướng dẫn giải từng dạng bài. Đồng thời, các em cũng sẽ được định hướng, tư vấn về lộ trình và kế hoạch học tập để chuẩn bị cho chương trình môn Toán – Ngữ văn trong năm học mới.
>> Phụ huynh đăng kí cho con tham gia làm bài kiểm tra đánh giá năng lực đầu năm MIỄN PHÍ và nhận lịch học TẠI ĐÂY nhé ạ <<
Để biết thêm thông tin chi tiết về khóa học, phụ huynh và học sinh hãy liên hệ Hotline 093 658 5812 hoặc ĐĂNG KÝ NGAY TẠI ĐÂY để được TƯ VẤN MIỄN PHÍ!
