Thầy Trần Phương, Hệ thống Giáo dục HOCMAI hướng dẫn giải bài toán tính diện tích ở trạng thái động trong chuyên mục Toán học không biên giới.
Theo đó, đề bài bài toán được đặt ra như sau: Một con dê được buộc vào 1 sợi dây dài 14m. Đầu kia của sợi dây gắn vào 1 bánh xe và có thể lăn trên 1 đường ray nằm ngang dài 20m. Tính diện tích lớn nhất con dê có thể gặm cỏ với p = 22/7?
Thầy Trần Phương cho biết, thầy đã từng viết một cuốn sách về diện tích có tựa đề “Chinh phục các kì thi Toán quốc tế”. Trong cuốn sách đó, thầy đưa ra 25 phương pháp tính diện tích khác nhau. Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo khoa Việt Nam và thế giới thường chỉ đề cập tới các dạng tính diện tích cơ bản, đó là tính diện tích ở trạng thái tĩnh, ví dụ tính diện tích của các hình học phẳng, tính diện tích của một đường cong phẳng trong hệ tọa độ… Ngược lại, bài toán tính diện tích ở trạng thái động gắn với hơi thở cuộc sống, đòi hỏi chúng ta phải tưởng tượng đúng hình cần tính. Muốn tính đúng diện tích, bắt buộc phải vẽ đúng hình cần tính.
Bài toán tính diện tích ở trạng thái động.
Nhìn vào hình vẽ, ta thấy có 1 đường ray dài 20m, trên đó có gắn một bánh xe có thể lăn trên đường ray. Sợi dây dài 14m có một đầu được buộc vào bánh xe, một đầu được buộc vào con dê. Bên ngoài đường ray là một thảm cỏ. Câu hỏi đặt ra là “Hỏi diện tích ăn cỏ lớn nhất là bao nhiêu?”.
Có thể thấy rằng bài toán này khác hoàn toàn với những bài toán thông thường mà chúng ta hay gặp trong sách giáo khoa hay trong các kì thi. Đây là bài toán tính diện tích ở trạng thái động và gắn với ứng dụng cuộc sống. Giống như khi xây một ngôi nhà, chúng ta phải có bản vẽ thiết kế. Vậy bước đầu tiên, chúng ta phải tưởng tượng ra hình vẽ tối đa lớn nhất ở đây là bao nhiêu rồi mới áp dụng công thức tính.
Chúng ta thấy rằng con dê có thể kéo căng, duỗi thẳng sợi dây. Muốn chuyển động theo 1 hình có diện tích tối đa thì con dê phải quay quanh một điểm cố định một khoảng không đổi. Khi đó, di chuyển của con dê sẽ vẽ nên một nửa hình tròn.
Con dê kéo căng sợi dây và dịch chuyển quanh một điểm cố định.
Sau đó, con dê vẫn có thể dịch chuyển, chúng ta cần xác định đường biên dịch chuyển lớn nhất là gì. Khi bánh xe chuyển động, chúng ta phải chú ý tương tác của bánh xe với đường ray. Sợi dây kéo căng theo bánh xe lăn trên đường ray thì quỹ đạo lớn nhất chính là một điểm cách đều một đường thẳng một khoảng không đổi. Vây đường biên bên ngoài lớn nhất là một đường thẳng song song với đường ray. Do đó, phần diện tích ăn cỏ lớn nhất của con dê chính là một dải nằm trong hình chữ nhật, có đường biên song song với đường ray 20m, cách 14m.
Khi con dê chuyển động kịch đến góc bên phải, nó lại thay đổi chuyển động quay quanh một điểm cố định, tiếp tục tạo ra một nửa hình tròn, sau đó lại chuyển động tịnh tiến, tiếp tục vạch ra một đường biên song song cách đều đường ray một khoảng 14m.
Diện tích ăn cỏ lớn nhất của con dê là một hình bầu dục gồm 2 nửa hình tròn và 2 hình chữ nhật.
Như vậy, toàn bộ hình con dê ăn cỏ lớn nhất tối đa chính là 1 hình bầu dục, gồm 2 nửa hình tròn ghép vào nhau, tạo ra 1 hình tròn có bán kính 14m, và hai hình chữ nhật có chiều dài là 20m, chiều rộng là 14m. Vậy diện tích hình chữ nhật lớn bằng 14x20x2, diện tích hình tròn bằng π x 14². Dễ dàng tính được diện tích ăn cỏ lớn nhất là (14x20x2) + (22/7 x 14²) = 1176 m2.
Xem chi tiết bài giảng “Tính diện tích ở trạng thái động” trong chương trình Toán học không biên giới tại ĐÂY.
Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết thông tin của thầy Trần Phương tại ĐÂY.
Phụ huynh và học sinh cùng đón chờ những câu đố tiếp theo của thầy Phương nhé!
