Cách giải phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là một trong những dạng phương trình xuất hiện rất nhiều trong quá trình học, làm bài tập hay cả trong các bài thi trong chương trình THCS. Độ khó của dạng bài này cũng vô cùng đa dạng khác nhau nên đã khiến không ít các em học sinh gặp khó khăn. Chính vì vậy, HOCMAI sẽ chia sẻ cách giải phương trình bậc 2 để các em có thể nắm được các kiến thức tổng quát nhất về dạng phương trình này.

A. Phương trình bậc 2 là gì

Phương trình bậc 2 là phương trình tổng quát có dạng: ax²+bx+c=0 ( điều kiện: a≠0) (1)

Việc giải phương trình bậc 2 là đi tìm tất cả các giá trị của x để thỏa mãn điều khiện khi thay x vào phương trình (1) thì ax²+bx+c=0.

Để biết thêm kiến thức chi tiết, các em học sinh có thể tham khảo bài viết: Phương trình bậc 2 một ẩn

 

B. Phương pháp giải phương trình bậc 2

Để giải phương trình bậc 2, các em học sinh cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính giá trính của Δ với Δ=b²-4ac

Bước 2: Xét tập nghiệm của phương trình bằng việc sánh giá  Δ với 0

Δ < 0 => phương trình bậc 2 vô nghiệm
Δ = 0 => phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1 = x2 = -b/2a
Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau:

Lưu ý: Trong một số trường hợp đặc biệt, các em học sinh có thể nhẩm nhanh nghiệm của phương trình bậc 2

• Trong trường hợp các hệ số a+b+c=0 thì x1 = 1, x2 = c/a
• Trong trường hợp các hệ số a-b+c=0 thì x1 = -1, x2 = -c/a

Tham khảo thêm: Công thức nghiệm của phương trình bậc 2

Một số ví dụ giải phương trình bậc 2

Ví dụ 1: Giải phương trình 4x² – 2x – 6 = 0 

Ta có: Δ = (-2)² – 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0

=> Vậy phương trình 4x² – 2x – 6 = 0  có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng công thức ta có:

Các em học sinh có thể áp dụng công thức nhẩm nhanh mà HOCMAI đã đề cập ở trên như sau:

Do a – b + c = 4 – (-2) + (-6) = 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x1 = -1; x2 = – (-6)/4 = 3/2

 

Ví dụ 2: Giải phương trình 2x² – 7x + 3 = 0 

Ta có Δ = (-7)² – 4.2.3 = 49 – 24= 25 > 0

=> Vậy phương trình 2x² – 7x + 3 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng công thức ta có:

Để kiểm tra 2 nghiệm trên đã đúng hay chưa, các em học sinh có thể thế 2 kết quả vừa tìm được vào phương trình trên.

 

Ví dụ 3: Giải phương trình 3x² + 2x + 5 = 0

Ta có Δ = 2² – 4.3.5 = -56 < 0

=> Vậy phương trình 3x² + 2x + 5 = 0 là phương trình vô nghiệm.

 

Ví dụ 4: Giải phương trình x² – 4x +4 = 0

Ta có Δ = (-4)² – 4.4.1 = 0

=> Vậy phương trình x² – 4x +4 = 0 có nghiệm kép (hay phương trình có 2 nghiệm giống nhau)

Bên cạnh đó, trong câu hỏi này, các em học sinh có thể áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: (a-b)² = a² – 2ab + b² nên phương trình trên về dạng (a – 2)² = 0 => x = 2

 

C. Một số dạng bài về giải phương trình bậc 2

 Dạng 1: Bài tập giải phương trình bậc 2 không chứa tham số

Để giải được phương trình thuộc dạng này, phương pháp phổ biến nhất là sử dụng công thức tính 2 đại lượng Δ hoặc Δ’, sau đó áp dụng công thức để tìm các nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

1. x² – 3x + 2 = 0
2. x² + x – 6 = 0

Hướng dẫn giải:

1. Ta có Δ=(-3)² – 4 . 2 = 1.

Vậy nghiệm của phương trình là:

Ngoài ra, ta có thể áp dụng phương pháp tính nhanh của phương tình này: ta thấy 1 + (-3) + 2 = . Vậy ta có thể suy ra nghiệm của phương trình là x1 = 1 và x2 = 2/1 = 2

2. Ta có Δ=1² – 4 . (-6) = 25. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x1 = 2; x2 = -3

 

Một số trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2 không chứa tham số

Trường hợp 1: Phương trình khuyết hạng tử

Phương trình khuyết hạng tử có dạng: ax² + c = 0

=> x² = -c/a

+ Nếu -c/a > 0 thì nghiệm của phương trình là x = ±√(-c/a)

+ Nếu -c/a < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu -c/a = 0 thì phương trình nghiện x = 0

Phương trình khuyết hạng tử tự do có dạng: ax²+bx=0.

Phương pháp: Ta đặt x là nhân tử chung. Lúc này, phương trình được chuyển về dạng:

x.(ax + b) = 0

Nghiệm của phương trình là:

+ x = 0

+ x = -b/a

Các ví dụ về phương trình khuyết hạng tử

a. x² – 4 = 0

b. x²-3x=0

Hướng dẫn giải

a. x² – 4 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x=2 hoặc x=-2

Vậy nghiệm của phương trình là: x1 = 2 và x2 = -2

b. x² – 3x = 0 ⇔ x.(x – 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy nghiệm của phương trình là: x1 = 0 và x2 = 3

 

Trường hợp 2: Phương trình đưa về dạng bậc 2.

Phương trình dạng phương trình trùng phương: ax⁴+bx²+c=0 (a≠0):

Phương pháp làm

• Đặt t = x² (điều kiện: t ≥ 0).
• Phương trình đã cho về dạng phương trình mới: at²+bt+c=0
• Giải giống như phương trình bậc 2 bình thường. Lưu ý khi tìm nghiệm phải thỏa mãn t ≥ 0

Phương trình có chứa ẩn ở mẫu:

Phương pháp làm

• Tìm điều kiện để phương trình xác định (điều kiện có mẫu số khác 0).
• Thực hiện quy đồng để khử mẫu
• Giải phương trình mới vừa nhận được. Khi tìm được nghiệm lưu ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Lưu ý: Phương pháp giải phương trình trung phương đặt t = x² (t≥0) còn được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Bên cạnh đó, phương pháp này không phải lúc nào cũng cứng nhắc chỉ được đặt t = x², các em học sinh cũng cần khéo léo lựa chọn ẩn phụ sao cho vừa đưa về dạng phương trình bậc 2, vừa tạo ra phương trình mới tối giản nhất. Ví dụ, có thể đặt ẩn phụ có dạng t = x + 1, t = x² + x, t = x² – 1… tùy từng bài toán khác nhau.

 

 

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có chứa tham số

Biện luận tham số về số nghiệm của phương trình bậc 2

Phương pháp giải:

Các em học sinh sử dụng công thức tính Δ theo tham số m. Sau đó xét dấu của Δ để biện luận số nghiệm của phương trình theo m:

Δ < 0 => phương trình bậc 2 vô nghiệm
Δ = 0 => phương trình bậc 2 có nghiệm có nghiệm kép (1 nghiệm)
Δ > 0 => phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Giải và biện luận số nghiệm của phương trình: mx²-5x-m-5=0 theo m

Hướng dẫn giải:

Xét trường hợp m=0, khi đó phương trình có dạng -5x – 5 = 0 ⇔ x = -1

Xét trường hợp m≠0, khi đó phương trình là phương trình bậc 2

Ta có: Δ = (-5)² – 4m(-m – 5) = (2m + 5)²

Vì Δ≥0 nên phương trình trên luôn có nghiệm

Trong trường hợp Δ = 0  ⇔ m = -5/2, phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Δ>0 ⇔ m ≠ -5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Nghiệm của phương trình là:

 

Xác định điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Phương pháp giải: để tập nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, điều kiện tiên quyết đầu tiên là phương trình phải có nghiệm. Các em học sinh thực hiện các bước sau:

• Tính Δ, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (Δ không âm)
• Dựa trên định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng của nghiệm, từ đó biện luận nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ: Cho phương trình bậc 2 có dạng x² + mx + m + 3 = 0. Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện sau:

Hướng dẫn giải

Để phương trình trên có nghiệm <=> Δ không âm

Vậy ta có:

Gọi 2 nghiệm của phương trình bậc 2 trên lần lượt là x1 và x2, theo định lý Vi-et ta có:

Mặt khác, theo dữ kiện đề bài ra ta có:

Vậy ta suy ra được:

m² – 2m – 6 = 9

<=> m = 5 hoặc m = -3

Thay thế m vào Δ ta có:

Khi m = 5 => Δ = -7 < 0 (loại)

Khi m = -3 => Δ = 9 > 0 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi m = -3 thì phương trình x² + mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãi điều kiện như đề bài ra.

 

Trên đây là toàn bộ kiến thức cần nắm được về cách giải phương trình bậc 2. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em học sinh có thêm kiến thức và đạt được kết quả tốt nhất trong các kì thi sắp tới.