Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

0
30228
mot-so-he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-tam-giac-vuong

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông là kiến thức vô cùng quan trọng trong toán THCS. Vì lý do đó, Bài viết này VietVocal sẽ hệ thống lại các hệ thức và liệt kê các dạng toán thường gặp, cách áp dụng các hệ thức để giải bài toán một cách dễ dàng.

 

I. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông thường được sử dụng 

1. Định lý Pytago

Định lý Pytago còn có tên gọi theo tiếng anh là Pythagoras – Một liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh trong một tam giác vuông. 

a) Định lý Pytago (thuận): 

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-0

b) Định lý Pytago đảo: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Định lý này được sử dụng rất phổ biến cũng như gồm nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đây là một định lý toán học quan trọng hàng đầu trong hình học cơ bản.

Xem thêm: Áp dụng định lí Pytago vào giải các bài tập Toán hình cực đơn giản

2. Hệ thức liên quan giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lý 2: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-1

3. Một số hệ thức có liên quan đến đường cao

Định lý 3: Trong một tam giác vuông, Bình phương đường cao ứng trên cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-2

Định lý 4: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng.

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-3

Định lý 5: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-4

 

II. Các dạng toán cơ bản 

Dạng 1: Tính độ dài của các đoạn thẳng trong một tam giác vuông

Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông là một dạng toán cơ bản thường gặp. Để giải quyết dạng này, chúng ta cần vận dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ở phần A.

Sau đây là một số ví dụ và lời giải cụ thể:

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông ABC (vuông tại A) với các cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là AB =3 cm và AC= 4 cm, kẻ đường cao AH ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền BC.

Lời giải:

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-5

Ví dụ 2: Đường cao của một tam giác vuông EFC (vuông tại E) chia cạnh huyền thành FC hai đoạn thẳng có độ dài FH = 1 cm và HC = 2cm. Hãy tính các cạnh góc vuông EF và EC của tam giác này?

Lời giải:

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-6

Ví dụ 3: Hãy tính x và y trong các hình vẽ sau:

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-7

Lời giải:

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-8

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức có liên quan giữa các yếu tố trong một tam giác vuông

Để làm được dạng toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức:

  • Đưa về hai tam giác đồng dạng có chứa các đường thẳng có trong hệ thức.
  • Chứng minh bằng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Sau đây là một số ví dụ và lời giải cụ thể:

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm trên đường thẳng AB. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D và vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt với đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

  1. Tam giác DIL là tam giác cân
  2. Tổng 1/D + 1/D không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB

Lời giải:

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-9

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông ABC, chúng minh rằng:

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-10

Lời giải:

he-thuc-ve-canh-va-duong-cao-trong-goc-vuong-11

 

PDF tóm tắt các kiến thức quan trọng có trong bài và các bài tập vận dụng (Bao gồm bài tập có lời giải và bài tập tự luyện).

 

Tham khảo thêm:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Phương trình quy về phương trình bậc hai

Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Trên đây là bài viết Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông HOCMAI gửi đến bạn. Mong rằng với những kiến thức được chia sẻ trong bài, các bạn học sinh sẽ nắm vững được các hệ thức cũng như biết cách áp dụng chúng để giải các dạng bài tập liên quan. Hẹn gặp lại các bạn ở các bài viết sau tại hoctot.hocmai.vn