Kiến thức cần nắm và các dạng bài tập về Vị trí tương đối của hai đường tròn

Trong chương trình Toán học 9, vị trí tương đối của hai đường tròn sẽ là một bài các em sẽ được học. Bài học này quan trọng bởi vì không chỉ áp dụng trong chương học lớp 9 mà còn xuất hiện trong các bài thi chuyển cấp lên lớp 10. Chính vì vậy, hôm nay HOCMAI sẽ giới thiệu cho các em kiến thức quan trọng cần nắm và một số dạng và cách giải chi tiết bài tập thường gặp về chủ đề này nhé!

 

I. Kiến thức cần nắm về Vị trí tương đối của hai đường tròn

1. Khái niệm và tính chất của đường nối tâm 

Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) chính là trục đối xứng của hình được tạo bởi hai đường tròn.

Chú ý:

• Nếu cả hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm sẽ nằm trên đường nối tâm.
• Nếu cả hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm sẽ là đường trung trực của dây chung. 

2. Các vị trí tương đối của hai đường tròn

Khi xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O’, r) R>r; chúng ta tìm thấy có ba vị trí tương đối gồm:

Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn được xem là cắt nhau khi có hai điểm chung. Trong trường hợp này:

• Điểm A và điểm B là hai giao điểm. 
• Đoạn thẳng AB được gọi là dây chung. 
• O’, O được gọi là đường nối tâm. 
• Đoạn thẳng OO’ được gọi là đoạn nối tâm. 

Nếu OA = R; O’A = r , khi đó: |R – r| < OO’ < R + r 

Cũng theo tính chất của đường nối tâm ở trên, đường nối tâm trong trường hợp này là đường trung trực của dây chung.

Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hai đường tròn được xem là tiếp xúc nhau khi có một điểm chung. Vị trí tương đối này có 2 trường hợp:

 

• Hai đường tròn (O;R) và (O’, r) | R>r. Tiếp xúc trong với nhau tại A.

Khi đó A nằm trên đường nối tâm OO’=R – r.

 

• Hai đường tròn (O;R) và (O’, r) | R>r. Tiếp xúc ngoài với nhau tại A.

 

 

Khi đó tiếp điểm A nằm trên đường nối tâm và OO’ = R + r.

Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao với nhau

 

• Hai đường tròn (O;R) và (O’, r) | R>r ở ngoài nhau.

 

Ta có: OO’ > R + r

 

• Hai đường tròn (O;R) và (O’, r) R>r đựng nhau

 

Ta có: OO’ < R – r

 

• Hai đường tròn (O;R) và (O’, r) R>r đồng tâm

 

Ta có: OO’ = 0

 

Từ các vị trí tương đối của cả hai đường tròn, ta có bảng sau:

Vị trí tương đối của hai đường tròn là (O; R) và (O’,r). Trong đó R>r	Số điểm chung	Hệ thức giữa d và R,r
Hai đường tròn cắt nhau	2	R – r < d < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc	1
– Tiếp xúc trong		d = R +r
– Tiếp xúc ngoài		D = R – (- r)
Hai đường tròn không giao nhau	0
– Ở ngoài nhau		d > R + r
– Ở trong nhau		d < R – r
– Đồng tâm		d = 0

3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Định nghĩa: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cùng cả hai đường tròn đó.

Ví dụ: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai tiếp tuyến chung là đường thẳng d1 và d2 (hình vẽ)

II. Những dạng bài tập về Vị trí tương đối của hai đường tròn

Dạng 1: Nhận ra vị trí tương đối của hai đường tròn. 

Để có thể giải quyết dạng toán này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn đã nêu ở trên.

Bài tập: Cho hai đường tròn: Đường tròn tâm O, bán kính R và đường tròn tâm O’ bán kính r. Hoàn thành bảng sau:

Lời giải:

Dạng 2: Các bài toán có hai đường tròn cắt nhau

Để có thể giải quyết dạng toán này, chúng ta có thể sử dụng, áp dụng những định lý, tính chất sau:

• Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
• Hệ thức d = R + r
• Khi làm ta có thể vẽ thêm tiếp tuyến chung của cả hai đường tròn (nếu cần).

Bài 1: Cho hai đường tròn là (O, 6 cm) và đường tròn (O’ ,5 cm) có đoạn nối tâm OO’ = 8 cm. Biết đường tròn (O) và (O’) cắt đoạn nối tâm OO’ lần lượt tại 2 điểm N và M. Tìm độ dài đoạn thẳng MN. 

Lời giải: 

Ta có: 

OM + MN =  ON => OM + MN  = 6 (cm). 

O’N + MN = O’M => O’N + MN = 5 (cm). 

Từ đó suy ra: OM + MN + O’N + MN = 11 => OO’ + MN = 11 => MN = 3cm.

Bài 2: Cho hai đường tròn là (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) có đường nối tâm OO’ bằng  5 cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại 2 điểm A và B. Tìm độ dài đoạn thẳng AB. 

Lời giải: 

Dạng 3: Các bài toán có hai đường tiếp xúc với nhau

Để có thể giải quyết dạng toán này, bạn cần thực hiện theo phương pháp sau: Tiến hành nối dây chung của hai đường tròn, sau đó áp dụng tính chất đường tròn nối tâm của hai đường tròn.

Sử dụng hệ thức liên hệ: R – r < d < R + r

Bài 1: Cho hai đường tròn là (O;R) và (Oʹ;Rʹ) tiếp xúc ngoài tại tiếp điểm A với (R > R ʹ). Đường nối tâm OOʹ cắt 2 đường tròn (O) và (Oʹ) lần lượt tại 2 điểm B và C. Dây DE của đường tròn tâm O vuông góc với dây BC tại trung điểm K của BC. 

1) Chứng minh hình BDCE là một hình thoi; 

2) Cho điểm I là giao điểm của đoạn thẳng EC và đường tròn (Oʹ). Chứng minh 3 điểm D,A và I thẳng hàng; 

3) Chứng minh đoạn thẳng KI là tiếp tuyến của đường tròn tâm Oʹ. 

Lời giải:

Bài 2: Cho hai đường tròn tâm O và tâm Oʹ tiếp xúc ngoài tại tiếp điểm A. Qua tiếp điểm A kẻ một đường cát tuyến cắt (O) tại điểm C, cắt đường tròn (Oʹ) tại điểm D. 

1) Chứng minh rằng OC // OʹD; 

2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài đoạn thẳng MN, gọi hai điểm P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với điểm M và điểm N qua OOʹ. Chứng minh rằng MNQP là một hình thang cân và MN + PQ = MP + NQ;   

3) Tìm góc MAN? Gọi K là giao điểm của đoạn thẳng AM với đường tròn tâm Oʹ. Chứng minh rằng  ba điểm N,Oʹ và K cùng nằm trên một đường thẳng.

Lời giải:

Dạng 4: Các bài toán tính độ dài, diện tích

Để có thể giải quyết dạng toán này, chúng ta cần sử dụng, áp dụng những định lý, tính chất sau:

• Tính chất đường nối tâm 
• Tính chất tiếp tuyến
• Định lý Pytago

Bài tập: Cho hai đường tròn là (O; 6cm) và (O’; 2cm), cắt nhau tại hai tiếp điểm A và B sao cho OA là tiếp tuyến của (O’). Tìm độ dài dây AB.

Lời giải:

 

Bài viết tham khảo thêm:

• Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
• Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
• Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

 

Bài viết hôm nay đã cung cấp cho các em học sinh kiến thức về Vị trí tương đối của hai đường tròn cũng như các dạng bài tập thường gặp và hướng dẫn giải chi tiết. HOCMAI mong rằng đây sẽ là những thông tin, tài liệu bổ ích để cho các em ôn luyện hiệu quả. Nếu muốn tìm thêm những kiến thức, thông tin toán lớp 9 hoặc bất kỳ môn học nào, hãy truy cập vào  hoctot.hocmai.vn nhé!.