Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn – Toán 9

Bắt đầu chương trình  toán lớp 9, các em đã được làm quen với kiến thức về lượng giác. Lượng giác là kiến thức rất khó và cũng rất quan trọng vì chúng rất hay xuất hiện trong bài kiểm tra của các em học sinh, nhất là những cuộc thi chuyển cấp. Vậy nên, việc nắm vững và thuộc lòng kiến thức về lượng giác là điều cần thiết. Các em hãy tham khảo những bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn dưới đây để luyện tập nhé!

Để ôn lại kiến thức về tỉ số lượng giác, các em có thể tham khảo bài viết:

• Tỉ số lượng giác góc nhọn
• Bảng công thức lượng giác

Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1: Chứng minh hai đẳng thức sau:

1. (cosα)^4 – (sinα)^4 = cos²α – sin²α

2. sin^4α + cos²α.sin²α + sin²α = 2sin²α

Hướng dẫn giải:

1. (cosα)^4 – (sinα)^4 = cos²α – sin²α

VP = cos^4α – sin^4α = (cos²α)² – (sin²α)²

= (cos²α – sin²α)(cos²α + sin²α)

= (cos²α – sin²α).1 = cos²α – sin²α = VT

2. (sinα)^4 + cos²α.sin²α + sin²α = 2sin²α

VP = (sinα)^4 + cos²α.sin²α + sin²α

= sin²α.(sin²α + cos²α + 1)

= sin²α.(1 + 1)

= 2.sin²α = VT

Bài 2: Có cosα = 0,4. Tìm sin⁡α, tan⁡α, cot⁡α.

Hướng dẫn giải:

Bài 3: Cho góc nhọn α và cosα – sinα = 1/5. Hãy tính cot⁡α.

Hướng dẫn giải:

Bài 4: Cho biết tan⁡α + cot⁡α=3. Tính sin⁡α.cosα

Hướng dẫn giải:

Bài 5: Chứng minh hai đẳng thức sau:

a) (cosx)^4 – (sinx)^4 = cos²x – sin²x

b) (sinx)^4 + cos^2x.sin²x + sin²x = 2sin²x

 Hướng dẫn giải:

a) (cosx)^4 – (sinx)^4 = (cos²x – sin²x)(sin²x + cos²x)

= (cos²x – sin²x).1 = cos²x – sin²x

b) (sinx)^4 + cos²x.sin²x + sin²x

= sin²x(sin²x + cos²x) + sin²x

= sin²x.1 + sin²x = 2sin²x

Bài 6: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

a) cos²α.cos²β + cos²α.sin²β + sin²α

b) 2(sin⁡α – cos⁡α)² – (sin⁡α + cos⁡α)² + 6sin⁡α.cos⁡α

c) (tan⁡α – cot⁡α)² – (tan⁡α + cot⁡α)²

Hướng dẫn giải:

a) cos²α.cos²β + cos²α.sin²β + sin²α

= cos²α(cos²β + sin²β) + sin²α

= cos²α.1 + sin²α

= 1

b) 2(sin⁡α – cos⁡α)² – (sin⁡α + cos⁡α)² + 6sin⁡α.cos⁡α

= 2(1 – 2sinα.cos⁡α) – (1 + 2sinα.cos⁡α) + 6sinα.cos⁡α

= 1 – 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α

= 1

c) (tan⁡α – cot⁡α)² – (tan⁡α + cot⁡α)²

= (tan²α – 2 tan⁡α.cotα + cot²α) – (tan²α + 2 tan⁡α.cotα + cot²α)

= -4 tan⁡α.cotα

= -4.1

= -4

Bài 7: Rút gọn và tính biểu thức sau:

A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5

Hướng dẫn giải:

A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5

= (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5

Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác ta có:

15° + 75° = 90° ⇒ sin15° = cos75°

30° + 60° = 90° ⇒ sin60° = cos30°

⇒ (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5

= 0 + 0 + 5

= 5

 

Bài 8: Rút gọn và tính biểu thức sau:

A = sin²82° + cot24°.cot66° + cos²82°

Hướng dẫn giải:

A = sin²82° + cot24°.cot66° + cos²82°

= (sin²82° + cos²82°) + cot24°.cot66°

Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

sin²82° + cos²82° = 1

24° + 66° = 90° ⇒ cot66° = tan24°

⇒ cot24°.cot66° = tan24°.cot24° = 1

⇒ A = 1 + 1 = 2

 

Bài 9: Cho hai góc nhọn β, α. Biết sinα = 0.7 và cosβ = √3/2. So sánh β và α.

Hướng dẫn giải:

sin²α + cos²α = 1

⇒ cos²α = 1 – sin²α

⇔ cosα = √(1 – sin²α)

⇔ cosα = √(1 – (0.7²))

⇒ cosα ≈ 0.714

Có cosα ≈ 0.714 < cosβ = √3/2 ≈ 0.866

⇒ β < α

 

Bài 10: Cho hai góc nhọn, biết sinα = cosβ = 0.5. So sánh β và α.

Hướng dẫn giải:

sin²β + cos²β = 1

⇒ sin²β = 1 – cos²β

⇔ sinβ = √(1 – cos²β)

⇒ sinβ = √(1 – (0.5²)) ≈ 0.866

Ta có: sinα = 0.5 < sinβ ≈ 0.866

⇒ β > α

 

Bài 11:  Cho tam giác ABC với góc ABC bằng 90 độ. Có AC = 10cm, cosBAC = 1/2. Tính sinBAC và độ dài cạnh AB và BC.

Hướng dẫn giải:

Bài 12: Cho tam giác ABC với góc BAC bằng 90 độ . Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính sinABC, cos ABC, tan ABC, cotABC

Hướng dẫn giải:

 

Trên đây là những bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn với hướng dẫn giải dễ hiểu để các em học sinh có thể trải nghiệm. Hy vọng rằng thông qua bài viết này, các em đã nắm rõ được những công thức về tỉ số lượng giác và áp dụng vào bài tập dễ dàng. Đừng quên xem thêm nhiều kiến thức bổ ích tại hoctot.hocmai.vn các em nhé!